FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. IJD 



qui aura un certain nombre de racines nulles en même temps que 

 z ^ a. Dans le cas général, ces racines se partageront en un certain 

 nombre de systèmes circulaires, les racines d'un même système 

 étant représentées par un développement de la forme 



procédant suivant les puissances de (:; — a)P et contenant en 

 facteur une certaine puissance de [z — «)^', car a' est nul pour 

 z:=a. La série v qui multiplie [z — a)P est une fonction régu- 

 Hère de {z — «)^qui n'est pas nulle pour z^= a. On en déduit 



u = -, = - \z — a) ^; 



U V 



- sera aussi une fonction régulière de (:; — ^)^ •> de sorte que les 



p valeurs de u seront représentées par un développement de la 

 forme 



--[ - - 1 



u^{z—a) ^ [ao-f-ai(j — a)^ — a2(^ — a)^-l-...J. 



C'est un développement de même forme que les précédents, sauf 

 qu'il présente à gauclie un certain nombre de termes à exposants 

 négatifs. Si /> = i , le point z = a est un pôle pour la racine con- 

 sidérée, au sens élémentaire du mot; si p est plus grand que i, 

 c'est en même temps un point de ramification. 



83. Pour étudier les racines de l'équation en u lorsque z de- 

 vient infini, on pose 



et l'on est ramené à étudier les racines de Péqualion transformée 



pour les valeurs de z' voisines de zéro. Plusieurs cas peuvent se 

 présenter suivant que ces racines ont des valeurs distinctes et 

 finies, des valeurs égales ou des valeurs infinies. Dans tous les cas 



