i8o CHAPITRE IV. 



lacet («o)-!? ZqTi^pZq par le lacet (aj).,, et z^pz est un chemin 

 direct allant de ^o à ^. 



Fig. 58. 



Nous terminerons ces généralités par la remarque suivante. La 

 racine ui^ qui se réduit à a^- pour z = ^oj est développable par la 

 formule de Taylor dans le voisinage de ce point; quel est le rayon 

 de convergence de cette série? Ce rayon est égal à la distance du 

 point ^0 au point critique le plus voisin où la racine considérée 

 devient infinie ou se permute avec une autre. Mais le cercle de 

 convergence de cette série peut contenir des points où les racines, 

 autres que w/, se permutent ou deviennent infinies. 



87. Dans ce qui précède, nous avons établi a /?/'/o/7' l'existence 

 des s^'stèmes circulaires et la forme des développements en séries 

 des racines. Il nous reste à montrer comment on peut obtenir ces 

 systèmes circulaires. Les valeurs de z, pour lesquelles l'équation 

 F(^, u) = o admet des racines multiples, s'obtiennent en élimi- 



d¥ 

 nant u entre les deux équations F = o, -— = o. Soit z ^=- a une 

 ^ ' Ou 



valeur de z pour laquelle l'équation F (3, iC) = o admet une racine 



h d'ordre n. En général, ~ ne sera pas nul pour z^= a, u--=b. 



En langage géométrique, cela signifie que le point de coordon- 

 nées (a, b) de la courbe qui a pour équation F(^, u) = o est un 

 point simple où la tangente est parallèle à Taxe des u. Mais, si l'on 



a en même temps -— = o, le point (a, h) est un point multiple de 



cette courbe. En définitive, les points critiques de la fonction 

 algébrique u de z correspondent : i'^ aux points de la courbe 

 où la tangente est parallèle à Vaxe des u; 2° aux points mul- 



