FONCTIONS ALGÉBRIQUES D UNE VARIABLE. l8l 



tiples. Nous laissons de côté pour le moment les points à l'infini; 

 leur étude se ramène, comme on l'a vu, à celle des points à dis- 

 tance finie. 



Supposons d'abord que, pour ^ =: a, on ait une racine b 



d'ordre /z, et que -^ ne soit pas nul pour z = a^ a = b. En rem- 

 plaçant z par z -\- Cl et u par u H- b, ce qui revient à transporter 

 l'origine au point (a, 6), F(-:, u) sera de la forme 



(6) F = Az^Bu''-^uzo(z,u)^'l>{z, ii) = o, 



6{z, u) ne contenant que des termes de degré supérieur à n par 

 rapport à u et du second degré au moins par rapport à ;:; A et B 

 sont des constantes différentes de zéro. Pour z =^ o, ona n racines 

 nulles et n seulement, c'est-à-dire que l'axe des u rencontre la 

 courbe en n points confondus à l'origine, qui sera un point ordi- 

 naire si /i tzi: 2, et un point d'inflexion si n est supérieur à 2. 

 Si l'on pose 



l'équation (6), divisée par ^''% devient 



(7) X-^Bi-n^z'U{z',i>) = o. 



Pour z'=o^ l'équation (7) admet n racines simples fournies 

 par l'équation binôme 



A + B p« = . 

 Soient 



ces n racines rangées par ordre d'argument croissant, l'argument 

 de chacune de ces racines étant égal à celui de la précédente, 



augmenté de -^- Pour une valeur de z' voisine de zéro, l'équation 



(7) admettra n racines qui seront des fonctions régulières de z' 

 dans le domaine de l'origine et se réduisant respectivement à v^^ 

 ^'2, •••? Vn pour ^'=:o. Ccs 11 raciucs pourront être représen- 

 tées par 



a,, ao, . . . , a,i étant des fonctions régulières de z\ qui sont nulles 



