l82 CHAPITRE IV. 



pour z' = o. L'équation (6) admettra les n racines 



i i 1 



pour savoir comment se permutent ces racines dans le domaine de 

 l'origine, faisons décrire à la variable un petit cercle dans le sens 



direct autour de l'origine; l'argument de 5" augmente de — ; le 



i i 



produit v^z'^ devient donc V2Z"' et la racine u^ se change en 



1 1 



27t/ 



a', étant infiniment petit avec 5, car c'est, au facteur e" près, ce 

 que devient la quantité a, quand on augmente l'argument de z' de 



— • Cette racine doit faire partie des n racines w<, 1121 ..., Un- 



Elle ne peut être égale quà u^, car, si elle était égale à u^ par 

 exemple, on aurait 



i i 1 1 



V'iZ"' -h a'. Z"- = i^^z'i -+- oLz^" ' 



et, en divisant par 5", 



de sorte que la quantité finie Ço — ^3 serait égale à une quantité 

 infiniment petite. On verrait de même que, après que z a décrit un 

 petit cercle dans le sens direct autour de l'origine, 112 se change 

 en ?^3, u^ en ?^/,, ..., u,i en w<. Les ii racines forment donc un 

 seul sjstème circulaire. 



Ces n racines peuvent être représentées par un même dévelop- 

 pement en série. La racine de l'équation (y), qui se réduit à ^i 

 pour ^'=0, est régulière dans le voisinage de z'=o-^ elle peut 

 donc être représentée par la somme d'une série convergente 



telle que 



pj + «i^'h- a^z'^-h ... ; 



la racine correspondante Ui de l'équation (6) sera égale à la somme 

 de la série 



Viz~^-i- ai\z~i) -ha2\z~t) -+-.... 

 Or, quand z tourne autour de l'origine, cette série prend n va- 



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