FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. l83 



leurs distinctes que l'on obtient en donnant à z'^ ses n détermina- 

 tions; et, d'après ce que nous venons de voir, ces n valeurs repré- 

 sentent les n racines de l'équation (d), qui s'annulent avec ;. 



88. Supposons maintenant que le point (a, b) soit un point 

 multiple de la courbe F(:;, w) = o; nous porterons encore l'ori- 

 gine en ce point. Avant d'aborder le cas général, nous étudierons 

 deux cas particuliers très simples : 



1° L'origine est un point double à tangentes distinctes, et au- 

 cune des tangentes ne coïncide avec l'axe des u. Si l'on ordonne 

 F(:?, u) suivant les puissances croissantes de u et de :;, on aura 

 l'équation 



(8) ¥ {z,u) = aii'^-\- -ibuz -{- cz--{- '■:i{z,u) = o, a ^ o, b- — ac ^ o, 



o{z^ u) ne contenant que des termes de degré supérieur au second. 

 Pour ^ = 0;, deux valeurs de u sont nulles; posons u = vZj 

 l'équation (8) devient, en divisant par z-^ 



(9) aç^-{- ibi' -{- c -i- z^(z, v) = o, 



et la nouvelle équation admet, pourr=:o, deux racines simples 

 (^1, Ç.2' Dans le domaine de l'origine, l'équation (9) admet par con- 

 séquent deux racines qui sont des fonctions régulières de z, 



t^' = Pi -}- ai ^ 4- ^1 -32 -+- . . . , 

 Les valeurs correspondantes de u sont représentées par deux 



l(l= ViZ -i- OLiZ^-h ^iZ^-i- . . . . 

 U,= Ç.2Z -\- «2^2+ ^iZ^-h 



Chacune de ces racines est donc régulière dans le domaine du 

 point ^ := o. 



2" L'origine est un point de rebroussement, et la droite w ^ o 

 est la tangente de rebroussement. L'équation proposée est de la 

 forme 



(10) F(^, u)= ut ^ au^ ^ bu'^ z ^ cuz^--h dz^-h cf(z, u) = o, 



