l84 CHAPITRE IV. 



o(;î, u) ne contenant que des termes d'un degré supérieur au troi- 

 sième. Si l'on pose 



et qu'on divise par^'»*, Téquation devient 



(il) v'^-^ d + z'^{z',v) = o. 



Supposons que d n'est pas nul, ce qui aura lieu si l'origine est 

 un point de rebroussement de première espèce. Pour z'=^o^ 

 Téquation (i i) admet deux racines simples ±.\J — c/; pour d voisin 

 de zéro, on aura deux valeurs de v régulières dans le domaine de 

 l'origine et se réduisant respectivement à ±:y/ — d pour z'=^o. 

 On en conclura, comme plus haut, l'existence de deux valeurs 

 de Li^ racines de l'équation (lo), 



Ux = \ v — d -+- OLi) z^ , 11=1 = ( — y/ — d -f- «2) z~^ , 



se permutant quand on décrit un petit cercle autour du point ^ = 0. 

 Ces deux racines sont encore représentées par un même dévelop- 

 pement en série 



u=^—dz^--\-az^--{-^[z'^) +..., 

 dans lequel on donne à z'^ ses deux déterminations. 



89. Après ces cas particuliers, arrivons au cas général, où l'ori- 

 gine est un point multiple d'ordre quelconque. L'équation en u 

 ayant n racines nulles pour ^ = o doit contenir un terme de la 

 forme Au^^ où A est une constante non nulle, suivi de termes 

 parmi lesquels ceux qui ne renferment pas z contiennent u à des 

 puissances supérieures à ii. Elle est donc de la forme 



(1-2) ¥{z,u) =z Aii'^-\-ZAa^u^z^ = 0, 



les exposants a et ^ étant des entiers positifs ou nuls assujettis à 

 la condition que, si ^ est nul, a est supérieur à n. Alors, pour 

 ^ = o, il j a bien n racines nulles. Nous emploierons, pour par- 

 tager ces n racines en systèmes circulaires, la méthode donnée 

 par Puiseux dans son célèbre Afémoire sur les fonctions algé- 



