FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. l85 



briques ('). Admettons que chacune des valeurs infiniment pe- 

 tites de u est d'un degré infinitésimal déterminé par rapport à c, 

 ou peut être mise sous la forme 



|ji étant un nombre positif et v une fonction de z qui a une va- 

 leur finie et différente de zéro pour ^ = o. Remplaçons u par cette 

 expression dans l'équation (12), le degré infinitésimal du terme 

 général est aa + J^ et celui du premier /z a, expression qu'on peut 

 faire rentrer dans aix + [i en faisant pour le premier terme a = /z, 

 p = o. Soit m le degré du terme qui a le plus petit degré, après 

 cette substitution. 11 y aura au moins deux termes de degré m^ 

 car, s'il n'y en avait qu'un, en divisant par ^"% on aurait une quan- 

 tité finie qui serait égale à une quantité infiniment petite. Il faudra 

 donc qu'il j ait au moins deux termes 



parmi lesquels peut être le premier, tels que 



et tels que, pour tout autre terme P^^^n o^n u'^" z^' ^ on ait 



|jLa"-i- 3"^ laa-h 3. 



Pour trouver les valeurs de iji qui remplissent cette condition, 

 on se sert d'une représentation géométrique dont le principe est 

 dû à Newton. Traçons dans un plan deux axes de coordonnées 

 rectangulaires Oa, O^ et marquons les points qui ont pour coor- 

 données les exposants (a, P) des diff'érents termes de l'équa- 

 tion (12). Au terme indépendant de z correspondent les points de 

 l'axe Oa; le premier, qui est fourni par le terme h^u^^ est d'ab- 

 scisse n. De même, les termes de l'équation indépendants de u 

 donnent des points sur l'axe O 3 {fig- Sg). 



Ces différents points étant marqués dans le plan, pour avoir le 

 degré aa 4- ^ en ^ qu'acquiert un terme AapM°'^P par la substitu- 

 tion u = çz"^, il suffit de mener par le point de coordonnées (a, j3) 



(') Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. XV; i85o. 



