l88 CHAPITRE IV. 



k et ki étant des nombres entiers. Posons, dans l'équation (i3), 



z = z'P, u = vzi\ 

 elle devient 



mais on tire des relations écrites plus haut 



et, en divisant par z'^^i-^P^i^ l'équation devient 

 (i4) v^i+^^{v) + z'W{z',v) = o, 



^^\z' , ^) étant une fonction entière de v et de z\ et <I>((^) désignant 

 le polynôme 



Pour ^'= o, cette équation se réduit à 



pa.u-i <î>((;) = o; 



elle admet a/ — a/_|., racines finies et différentes de zéro; pour une 

 valeur de z' voisine de zéro, elle admettra donc a/ — a/_^, racines 

 respectivement voisines des précédentes et, par conséquent, 

 l'équation en u aura le même nombre de racines de la forme 



vzP , la quantité v tendant vers une limite différente de zéro lorsque 

 z tend vers zéro. Le côté G^- de la ligne polygonale fournit donc 



(a/ — ^iJr\) racines d'un même degré infinitésimal^- En opérant 



de même avec chaque côté, nous obtiendrons un nombre total de 

 racines 



(n — ai)-4-(ai — a2)+ ... -+-(a„ — o) = n. 



On retrouve ainsi les n racines de l'équation (12) voisines de zéro. 

 Chacune de ces racines est donc bien d'un degré infinitésimal 

 déterminé, et de plus ce degré est commensurable. 



