FONCTIONS ALGÉBRIQUES D UNE VARIABLE. 1 89 



Considérons maintenant en particulier les racines du degré 

 infinitésimal -? qui sont fournies par l'équation ^(c^') = o. Dans 



le polynôme ^{^), tous les exposants sont des multiples de p; 



ainsi 



a/ — ^i+i = kip, a — a/^i = ( ki — k)p. 



Si l'on pose r/* = X, l'équation 0(r) = o est remplacée par l'é- 

 quation 



(r5) n(À) = Aa,p,X^-. -i-^ Aa^)/<-^- + Aa,,.p,., - o. 



Soit A une racine simple de l'équation (i5) et 



les/? racines de l'équation vP = a, rangées dans un ordre tel que 

 les arguments forment une progression arithmétique de raison 



— ^- Ces racines sont racines simples de l'équation <ï>(r)i=o; 



par conséquent, pour une valeur de z' voisine de zéro, l'équa- 

 tion (r4) aura/? racines voisines des précédentes, qui seront régu- 

 lières dans le voisinage de z' =^ o. Soient 



i^i -h ai, v-i-^i-i, ..., Vp-\-7.p 



ces/? racines, a,, ao, . . . ^ oLp étant infiniment petits avec -3^ 

 L'équation (ï3) admettra les p racines 



'1 ç '1 



et Ton verra, comme plus haut (§87), que ces p racines se per- 

 mutent circulairement autour de l'origine. Supposons que la 

 racine de l'équation (14)7 qui se réduit à r,, soit développée sui- 

 vant les puissances croissantes de z' 



V = ç>i -T- az -\- bz'^ -^ ... ; 

 la formule 



u = v,\zn ^a\zP) -^b[z") -f-..., 



OÙ l'on attribue successivement à z^ ses p déterminations, repré- 

 sente les/? valeurs de u, qui se permutent circulairement. Ainsi, à 



