igo CHAPITRE IV. 



toute racine simple de V équation (i5) correspond un système 

 circulaire de p racines. 



Si l'équation (i5) a ki racines simples, le côté C^- de la ligne 

 polygonale nous fournira kt systèmes circulaires de p racines. S'il 

 en est de même de loules les équations analogues pour les autres 

 côtés, la séparation des racines en systèmes circulaires sera effec- 

 tuée dès la première approximation. 



Supposons maintenant que l'équation (i5) ait une racine mul- 

 tiple A d'ordre n' , et soit ç^ une racine de l'équation vP z=\\ v^ 

 sera une racine multiple d'ordre n' de l'équation <ï>(r) = o. 

 Lorsque z' tendra vers zéro, l'équation (i4) admettra n' racines 

 voisines de Ti . Pour séparer ces n' racines, nous poserons 

 (^ = t'i + v' , ce qui nous conduit à une nouvelle équation 



(iG) F'(^>') = o, 



ayant n' racines infiniment petites avec z' . Appliquons à cette 

 nouvelle équation la méthode précédente, et supposons que ces 

 // valeurs de v' se répartissent en systèmes circulaires dès Ja pre- 

 mière approximation. Soit 



'x[z'i"y +a {z'i") 



7'+i 



un de ces systèmes circulaires àe p' racines. L'équation en u ad- 

 mettra la racine 



u = z'^(çi -4- v') = z'^i [i^i-\- wi Kz'P'Y -+- . . .J 

 ou 



U = Vi \zl'l") + (Vi {zPi") -+- 



On a dans le second membre un développement suivant les puis- 



sances croissantes de zVP\ dans lequel les trois nombres qp', pp', 

 q' ^ qp' sont premiers entre eux. Ce développement prend/?/?' 

 valeurs différentes quand la variable z tourne autour de l'origine; 

 il représente donc un système circulaire de pp' racines de l'équa- 

 tion en u. En effet, lorsque la variable z tourne autour de l'ori- 



j_ 

 gine, le radical zPP' prend pp' valeurs différentes. Après p tours, 

 le premier terme se reproduit, mais l'argument du second aug- 



