FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. I9I 



mente de —L ?:; ainsi les p premières racines diffèrent par le pre- 

 mier terme, qui est la partie principale. Ensuite, de p en p, les 

 valeurs obtenues diffèrent par le second terme. On a donc bieny?yo' 

 valeurs différentes pour u. 



90. Si les n^ racines de l'équation (i6) ne peuvent se répartir en 

 svstèmes circulaires dès la première approximation, on opérera 

 sur cette nouvelle équation comme on a opéré sur l'équation (i 3), 

 et ainsi de suite. Au bout d'un certain nombre de transforma- 

 tions successives, on arrivera à des équations n'ayant plus que des 

 racines simples, et, en remontant de procbe en proche, on voit 

 que la séparation des racines de l'équation proposée en systèmes 

 circulaires sera effectuée. Il ne pourrait en être autrement que si 

 la suite des opérations conduisait toujours à des équations ayant 

 des racines multiples. Il nous suffira donc de montrer que cette 

 circonstance ne peut se présenter. 



L'équation (i3) admet une racine nulle d'ordre n pour ^ = o, 

 et l'équation (i6) admet une racine nulle d'ordre n' pour ^' = o. 

 Or n^ est au plus égal à a, — a/^,, et par suite au plus égal à n. 

 Si la séparation des racines de l'équation (i6) n'est pas effectuée 

 dès la première approximation, on en déduira une nouvelle équa- 

 tion ayant une racine nulle d'ordre n pour -3'' = o, et /i^' sera 

 inférieur ou égal à n! ; et ainsi de suite. On aura donc une suite 

 de nombres entiers positifs a«, n', /i'^, . . . n'allant jamais en crois- 

 sant. Si aucun des nombres de cette suite n'est égal à l'unité, il 

 faudra évidemment qu'à partir d'une certaine équation tous ces 

 nombres soient égaux. Supposons, pour fixer les idées, que cela 

 ait lieu dès la première équation. Comme rî est au plus égal à 

 rj.1 — ^•ijf.K'i il faudra qu'on ait 



a/ = n , a,+i = o, ^z = o, ?i+i = nq , 



et la ligne polygonale se réduira à un seul côté, allant d'un point 

 n sur l'axe Oa à un point nq sur l'axe O ^. Si l'on pose dans 

 l'équation (i3) u =: vz'f, elle devient, par hypothèse, 



