192 CHAPITRE IV. 



et, par suite, les n racines infiniment petites ont une même valeur 

 approchée 



Posons ensuite v = ('0 + ^', l'équation en v' aura n racines 

 nulles pour ^ = o et si l'on écrit v' = wz^' , q' étant choisi conve- 

 nablement, elle devient, d'après l'hypothèse, 



et les n valeurs de u auront encore même valeur approchée 



En continuant ainsi, on voit que les n valeurs infiniment petites 

 de u différeraient entre elles d'une quantité dont l'ordre infinité- 

 simal serait aussi élevé qu'on le voudrait-, ce qui est impossible 

 si l'équation est irréductible, et, par conséquent, n'admet pas de 

 racines égales pour toute valeur de z. Imaginons, en effet, que 

 l'on forme l'équation aux carrés des différences des racines de 

 l'équation proposée; on aura une équation de même nature que 

 la première, dont les racines nulles pour ^ = o seront d'un ordre 

 infinitésimal déterminé. 



En définitive, lorsque pour ^ -— a l'équation (2) admet az ra- 

 cines égales à ^, les n valeurs de a qui tendent vers 6, lorsque z 

 tend vers a, sont représentées dans le domaine du point z ^=^ a 

 par un ou plusieurs développements de la forme suivante 



u — h-\- ai(^ — aY -\- CLi{z — aY h- . . . + a/(^ — aY -f-.. ., 



OÙ l'on attribue successivement à (^ — ay ses p déterminations, 

 et où l'on prend la même détermination dans chacun des termes. 

 Quelques-uns des nombres entiers positifs ^,, ^o, ...^qi peu- 

 vent avoir des diviseurs communs avec p, mais il ne pourra pas 

 arriver que tous les nombres qt aient avec p vin autre diviseur 

 commun que l'unité, de sorte que le second membre aura bien/; 

 valeurs distinctes. 



Si l'on a un seul système circulaire de n racines, le points = a 

 est dit un point de ramification d'ordre n — i ; pour n = 2, on 

 dit aussi que c'est un point de ramification simple. Si l'on a plu- 



