FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. 



Ï9^ 



sieurs systèmes circulaires, au point ^ = a sont superposés plu- 

 sieurs points de ramification distincts. 



91. Exemple 1. — Considérons l'équation (*) 

 u^ — 3 a -h 2^ = o. 



Pour r = -i- I, on a deux racines égales à -f- i , qui forment un 

 système circulaire, et une racine simple égale à — -2; de même, 

 pour ^ = — I , on a une racine simple égale à 2 et deux racines 

 égales à — i, qui forment un système circulaire. Pour toute autre 

 valeur finie de z^ les trois racines de l'équation sont distinctes et 

 finies. Traçons dans le plan des z deux coupures indéfinies sui- 

 vant les lignes 1 h- oc, — i oc; les trois racines 



deviennent des fonctions uniformes dans toute l'étendue du plan. 



G 



e 



Appelons Uq, Ui, u-^ ces trois racines, qui se réduisent respective- 

 ment à o, -f- y^3, — y/s pour ^ = o. Si l'on construit la courbe 

 représentée par l'équation précédente, on reconnaît que, z crois- 

 sant de o à -f- I par valeurs réelles, u^ croît de o à + i, «, décroît 

 de y 3 à 4- I, et u^ décroît de — y/3 à — 2. Par conséquent, quand 

 on franchit la coupure L, on passe de ^/q à //,, de u^ à f^o, mais 

 it-i ne change pas. De même, quand on franchit la coupure U, «„ 

 et u^ se permutent, tandis que u^ ne change pas. Si l'on décrit 

 de l'origine comme centre un cercle de rayon supérieur à l'unité, 

 on revient à la valeur initiale après avoir décrit trois fois la 

 circonférence et rencontré les trois racines. Ces racines forment 

 donc un seul système circulaire dans le domaine du point ;: = cc; 

 ce qu'on vérifie aisément par la méthode générale. - .. V; -r 



Exemple IL — Soit Téquation (-) 



. «3__ 3„2_^ -6 = 0. 



(') Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, p. 5- 

 (') Briot et Bouquet, loc. cit., p. Sg. 



A. ET G. 



]3 



