FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. igS 



réelles, les trois valeurs de u vont respectivement des valeurs ini- 

 tiales Wo, W|, Ui aux valeurs finales 2, 2, — i. Donc, lorsque z 

 décrit une des lignes 0<7,, 0^3, O^s, les trois racines ^^j, «,, u-^ 

 tendent vers les valeurs 2,2, — i ; par suite, quand on franchit 

 une coupure d'indice impair, on va de la racine Uq à la racine ?<,, 

 de ?/, à Wo) mais Wo «^ change pas. 



De même, lorsque z décrit un des rayons 0^2? Oa^, 0«6j t va 

 de o à — 2 par valeurs réelles, et les racines Uq^ w,, 11.2 tendent 

 respectivement vers 2, — 1, 2, de sorte que, en franchissant une 

 coupure d'indice pair, on passe de Uq à ^/o? ^e u.2 à ?<0 7 mais u^ 

 ne change pas. Les lacets («o), («4), («e) unissent donc les ra- 

 cines ?/o, if-i et sont neutres pour la racine «,, tandis que les 

 lacets (rtj), («3), («5) unissent «0 et w,, et sont neutres pour la 

 racine ^2- Si l'on décrit un cercle concentrique à l'origine conte- 

 nant les six points de ramification, ce chemin équivaut à six 

 lacets, et chaque racine revient à sa valeur initiale. La méthode 

 générale montre, en effet, que le point à l'infini est neutre pour 

 chacune des racines. 



On peut faire l'étude complète des fonctions algébriques et de 

 leurs intégrales au moyen des lacets. C'est la méthode employée 

 exclusivement par Briot dans sa Théorie des fonctions abé- 

 liennes. Nous nous servirons, dans cet Ouvrage, du mode de re- 

 présentation de Riemann ('). 



92. Suif aces de Riemann. — A toute relation algébrique 

 irréductible à deux variables, telle que F(3, ?^) = o, on peut 

 faire correspondre une surface plane à plusieurs feuillets, qui joue 

 le même rôle que la surface à deux feuillets pour une équation du 

 second degré en u. 



Exemple I. — Considérons la relation 



à chaque valeur de :; correspondent m valeurs de u qui se permu- 

 tent circulairement quand la variable tourne autour de l'origine. 



(') Le lecteur fera de lui-même le rapprochement entre le Chapitre I et les 

 paragraphes suivants. 



