CHAPITRE IV. 



chons une valeur de u et donnons au feuillet le même indice qu'à 

 la racine correspondante. Il s'agit de voir comment on doit réunir 

 les bords des coupures de ces diflérents feuillets. 



Pour cela, considérons en particulier le point critique ai et une 

 racine 11^. Si le lacet («/) ramène la racine Uh à sa valeur initiale, 

 on supprimera la coupure aico dans le feuillet correspondant. On 

 opérera de même pour tous les feuillets correspondant à des racines 

 que le lacet («/) ne permute avec aucune autre. Les autres racines 

 se partageront en un certain nombre de systèmes déracines se per- 

 mutant circulairement autour du pointa/. Soit(?/a5 '^p? ••■1 '')o ^^]^) 

 un de ces groupes; le lacet (a/) décrit dans le sens direct change 

 Uy^ en ?/p, u^ en ii^, ..., u\ en u^. Réunissons le bord droit de la 

 coupure sur le feuillet a au bord gauche de la même coupure sur 

 le feuillet p, le bord droit de la coupure sur le feuillet p au bord 

 gauche de la coupure sur le feuillet y, . . ., et enfin le bord droit 

 de [ji. au bord gauche de a. Dans le voisinage du point <7/, les feuillets 

 d'indice a, [3, ..., X, [x sont ainsi liés les uns aux autres, mais ils'sont 

 complètement isolés des autres feuillets. Ils peuvent cependant les 

 traverser, mais suivant des lignes doubles de la surface, et nous 

 conviendrons toujours qu'il n'y a point de connexion entre deux 

 nappes de surface le long d'une ligne double. 



Opérons de même avec tous les feuillets et tous les autres points 

 critiques. La surface Tainsi obtenue jouit des propriétés suivantes : 

 i'' à chaque point de cette surface correspond une valeur bien 

 déterminée de z et de u\ 2° à un déplacement infiniment petit 

 sur cette surface correspond une variation infiniment petite de u^ 

 sauf, bien entendu, dans le voisinage des pôles, qui sont en nombre 

 fini. Cette surface T est la surface de Rieraann correspondant à 

 la relation F(^, u) = o, étendue sur le plan des z. Projetons cette 

 surface sur la sphère par le procédé déjà employé plusieurs fois 

 (n° 5) ; nous obtenons une surface sphérique formée de m 

 feuillets, qui peut remplacer la surface plane. Aux valeurs de z de 

 module très grand correspondent les points de la sphère voisins 

 du point O', et la liaison des feuillets autour du point O' résulte 

 de leur liaison autour des autres points de ramification. Par 

 exemple, si une racine est uniforme dans le domaine de ^ = go, 

 quand on décrira un contour fermé sur la sphère autour du point 

 O' en partant du feuillet correspondant à cette racine, il pourra 



