202 CHAPITRE IV. 



et 2, d'ordre o pour les feuillets 3 et 4; ces deux derniers feuillets 

 sont entièrement distincts au point a ifig- 68). 



Remarque I. — Quand on dit d'un point de T que ce point 

 n'appartient qu'à un seul feuillet, on fait abstraction des lignes 

 doubles. Pour un point pris sur une ligne double, il faut ajouter 

 à quelle nappe le point est supposé appartenir. 



Remarque II. — Il est clair que la façon de réunir les feuil- 

 lets pour former une surface T n est pas unique. Par exemple, il 

 n'est pas nécessaire de supposer que les lignes de passage sont 

 des lignes droites; on peut leur donner des formes absolument 

 arbitraires. Lorsqu'il n'y a que des points de ramification sim- 

 ples, on peut employer un procédé particulier dû à Luroth. 

 ( Fo/r Picard, Traité d^ Analyse, t. II, p. 367 et suivantes.) 



94-. On appelle point analytique {z.,u) l'ensemble d'une valeur 

 de^ et d'une valeur de u vérifiant la relation considérée F (;j,w) = o. 

 A tout point de T correspond un point analytique et inversement. 

 Soit (a, b) un point analytique ; on a F(a, 6)= o et en général 

 u ^=^h est racine simple de l'équation 



F(a, u) = o. 



S'il en est ainsi, le point de T qui correspond au point analy- 

 tique (a, ^) estdéterminé sans ambiguïté. Il ne peut y avoir excep- 

 tion que si u = b est racine multiple de l'équation précédente. 

 Supposons d'abord que les n valeurs de u voisines de b pour une 

 valeur de z voisine de a appartiennent à un même système circu- 

 laire. Sur la surface T on aura, au-dessus du point z ^= a, un 

 cycle de n feuillets, dont le sommet sera le point unique de T 

 correspondant au point analytique (a, b). Il n'en est plus de même 

 si les n valeurs de u voisines de b se partagent en p{p^ i) sys- 

 tèmes circulaires. On aura/? cycles sur T, dont les sommets cor- 

 respondent au même système de valeurs z- = a, u = b. On aura 

 en réalité p points analytiques (a^b), qu'il faudra distinguer les 

 uns des autres. Mais ceci ne peut avoir lieu que pour un nombre 

 fini de systèmes de valeurs de a et de b. 



95. Nous nous proposons d'abord d'étudier les propriétés gêné- 



