FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. loS 



raies des fonctions uniformes sur la surface T ou, ce qui revient 

 au même, des fonctions uniformes du point analytique (^, a). Soit 

 en premier lieu {a, b) un point à distance finie de la surface par 

 lequel ne passe qu'un feuillet. Découpons un petit morceau 

 de surface entourant ce point et situé tout entier sur un seul 

 feuillet; lorsque le point de T restera sur cette portion de surface, 

 le module de z — a restera inférieur à une certaine limite, et la 

 branche de fonction considérée sera, dans ce domaine, une fonc- 

 tion uniforme de ^ — a. Il peut se faire que cette fonction ç soit, 

 dans ce domaine, égale à la somme d'une série convergente 



(> = Ao-i- Ai(^ — rt)-f-. . .-h kg{z — a)'7-f-.. . ; 



alors la fonction r sera dite régulière au point (<7, b). Si 



Ao= Ai =. . .= A^_i — o, 



sans que A^ soit nul, le point analytique («, ^) est un zéro d'ordre 

 q. Si la fonction r n'est pas régulière au point ( a, Z>), ce point est 

 un point singulier. Nous supposerons que c'est un point singulier 

 isolé; alors, d'après le théorème de Laurent, on aura, dans le do- 

 maine de ce point, 



V = Ao-F Ai(2 — a)^. . .-^ kg{z — a)l^.. . 



z — a {z — ay^ 



S'il n'y a qu'un nombre limité de termes à exposants négatifs, 

 le point (a^b) est un pôle, dont Tordre est égal à la plus haute 



puissance de dans le développement. S'il j a un nombre il- 

 limité de termes à exposants négatifs, le point analytique (<7, b) 

 est un point singulier essentiel isolé. Dans les deux cas, le coef- 

 ficient de est encore appelé i^ésidu. 



Supposons maintenant que le point analytique (<7, ^) soit le 

 sommet d'un cycle de a feuillets à distance finie. Découpons sur 

 T un petit morceau de surface t ne contenant à son intérieur 

 d'autre point de ramification que celui-là; t se composera de cer- 

 taines portions des ijl feuillets qui passent par ce point, et sera li- 



