'204 CHAPITRE IV. 



mitée par une courbe fermée qui, vue en projection sur le plan 

 des z^ tournera [x fois autour du point z^=^a. (La figure repré- 

 sente cette courbe limite, pour p. = 3, la convention pour les traits 

 ([ui figurent les chemins étant la même quey?^-. 65). 



Fi g. 69. 



C'est cette petite portion de surface que nous appellerons le do- 

 maine du point (rt, h). Il est facile de voir que cette surface peut 

 se ramener à une portion de surface plane, située sur un même 

 feuillet. Posons, en effet, s = « + ^^H- et représentons encore la 

 variable ^' par un point dans un autre plan. Traçons les droites 



issues de l'origine qui font entre elles des angles égaux à — ? et du 



point ^' ^ comme centre décrivons un cercle de rayon ;- très 

 petit. On a ainsi une surface t\ composée de [jl secteurs circulaires 

 égaux. Lorsque la variable d décrit un de ces secteurs, z décrit^ 

 autour du point <7, toute la partie d'un feuillet aboutissant à ce 

 point comprise à l'intérieur d'un cercle de rayon /'H-. A la surface 

 t' correspond ainsi sur T un domaine entourant le point analytique 

 (r/, ^), domaine que l'on peut prendre pour la surface t. Ces deux 

 surfaces t et t^ se correspondent point par point et, sauf au point 

 ^' = o, l'application est conforme. Toute fonction uniforme du 

 point analytique {z^ ?/) pourra donc, à l'intérieur de ^, être remplacée 

 par une fonction uniforme de z' à l'intérieur de i . Il suit de là que 

 cette fonction sera dans le domaine de {a^b) une fonction uni- 



forme de {z — a)^ , chaque détermination du radical correspondant 

 à un des feuillets. 



S'il n'y a pas, dans le voisinage du point [a, 6), une infinité 

 d'autres points singuliers, la fonction v sera donc représentée, dans 

 le domaine de ce point, par un développement ayant l'une des 



