206 CHAPITRE IV. 



l'intégrale étant prise le long d'un petit contour entourant com- 

 plètement le point (<7, b), de façon à avoir à sa gauche l'aire en- 

 veloppée, comme dans le cas d'un point («, b) qui ne serait pas 

 de ramification. 



Pour justifier la définition de Tordre d'un pôle ou d'un zéro, 

 remarquons qu'un zéro d'ordre q àe, v donne toujours une va- 

 riation de iqiz dans logr, quand la variable z décrit un contour 

 fermé dans le sens direct autour du point analytique («, ^), tan- 

 dis qu'un pôle d'ordre n donne une variation de — inr^ dans 

 logç'. En d'autres termes, un zéro d'ordre q de r donne dans la 

 dérivée logarithmique un résidu égal k -\- q^ et un pôle d'ordre n 

 un résidu égal à — n. 



Soit, en effet, 



ç = {z-a)v\k^-^h,{z-af+...\, Ao^o. 

 On aura 



+ ( 



ay^^kd^~af V...J, 



, -Al (s — a! 



i dv q !^ 



V dz [JL ( 2 — a) 1 



Ao+ Ai(^ — rt)!^4-... 



Le développement du second terme commencera par un terme 

 de degré i ou de degré plus élevé; le résidu sera donc 



^ X u. = ^. On verrait de même que, pour un pôle d'ordre n 



de r, le résidu de la dérivée logarithmique est égal à — n. 



Passons, maintenant, aux valeurs infinies de z. Pour plus de 

 généralité, supposons qu'on ait à l'infini un cycle de a feuillets. 



En posant ^ =z — , la fonction uniforme p se change en une fonc- 

 tion à[z')^ qui est uniforme dans le voisinage de 5'= o. Écartons 

 le cas où cette fonction '^{z') admettrait une infinité de points 

 singuliers dans le domaine de l'origine; dans ce domaine, ^(^') 



