FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. lOJ 



sera représentée par un développement de l'une des formes sui- 

 vantes : 



+ 00 



^(z')="^k,z'^^. 



•j — X 



La fonction v sera donc représentée, dans le domaine du point 

 à l'infini considéré, par un développement de l'une des formes 

 suivantes : 



_i 7 



(I) v = X,-^k,z ^-...-^X,z E^-..., 



— a: 



(If) v=. 2 Av^-~i^; 



V =—n 



(III) r= Va,., i^-. 



Dans le premier cas, la fonction r est régulière au point à l'in- 



fini; si le développement commence par un terme en z ^, ce 

 point sera dit un zéro d'ordre q. Dans le second cas, le point à 

 l'infini est un pôle d'ordre /?, et, dans le troisième cas, un point sin- 

 gulier essentiel isolé. Si le développement contient un terme en -, 



'-^j on appellera résidu le produit — ;^-^-a- Ces définitions se 



justifient comme précédemment. Le résidu de la fonction v pour 

 un point à l'infini est égal à 



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l'intégrale étant prise le long d'un contour fermé limitant le do- 

 maine de ce point à l'infini, de façon à avoir ce domaine à sa 

 gauche. Un zéro d'ordre q et un pôle d'ordre n donneront res- 

 pectivement ^ et — n pour résidus dans la dérivée logarithmique. 



