2o8 CHAPITRK IV. 



Remarquons encore une fois que la fonction peut être régulière 

 à 1 infini sans que le résidu soit nul. 



96. Soient ç une fonction analytique uniforme du point analy- 

 tique (^, u) et Vi, {^2i ' • '■) <'m les m déterminations de cette fonc- 

 tion pour une valeur quelconque de z; il est clair que toute fonc- 

 tion symétrique de (^,, t'o, . • ., ^m sera une fonction uni/orme 

 de z. Supposons que, pour z = a, quelques-unes des valeurs (^,, 

 i'2, • ••, Vm ne soient pas régulières; alors la fonction p du point 

 analytique (z, u) admettra comme pôles ou points singuliers essen- 

 tiels quelques-uns des points analytiques [a^ h) qui sont superpo- 

 sés au point ^ = a du plan des z. La somme des résidus de la 

 fonction v, relatifs à tous ces points singuliers^ est égale au ré- 

 sidu de la fonction v^-\- v^-^- - - - -^- t'm relatif au point z = a. 



Si aucun des points analytiques (a, b) que la fonction ç admet 

 comme points singuliers n'est un point de ramification, la démon- 

 stration est immédiate. Supposons que l'un de ces points soit un 

 point de ramification d'ordre ]x — i; dans le voisinage de ce 

 point, a des valeurs t^,, ('2, ..., v,n, seront représentées par un 



même développement en série suivant les puissances de (^z — aj^ . 

 Soit A_p. le coefficient de dans ce développement. Dans la 



somme c, 4- i'.. + . . . -f- r,,^ on aura le terme ' " ""' provenant des 



a valeurs de v appartenant à ce système circulaire. En opérant de 

 la même façon avec tous les points analytiques («, 6), on voit que 

 la proposition est exacte avec la définition du résidu que nous 

 avons adoptée. On reconnaît tout pareillement que la somme des 

 résidus de la fonction v^ pour les points à l'infini deT, est égale au 

 résidu de la fonction ^i + (^2 + • • • + ^'w pour ^ = oc. 



Supposons que la fonction v du point analytique (3, u) n'ait 

 sur T qu'un nomhve fini de points singuliers. La somme des ré- 

 sidus de cette fonction sur toute la surface T sera égale, d'après 

 ce que nous venons de voir, à la somme des résidus de la fonction 

 <') + <^^2 -l- • • • + <'w7 q^ii est une fonction uniforme de z, pour 

 toutes les valeurs finies et infinies de z. Or cette somme 



