FONCTIONS ALGÉBUIQLES D ' U N E VARIABLE. 209 



n'a évidemment qu'un nombre fini de points singuliers, et, par 

 conséquent, la somme de ses résidus est nulle {voir Introduction). 

 On a donc le théorème suivant : 



Soit ç une fonction uniforme du point analytique [z. u) 

 qui Ji admet, sur toute la surface T, qw un nombre fini de 

 points singuliers; la somme des résidus de cette fonction sur 

 toute la surface est égale à zéro. 



97, Parmi les fonctions uniformes du point analytique (z, u)^ 

 les plus simples sont les fonctions rationnelles de z et de u, 



P etQ étant des polvnomes entiers en r et u. Dans le voisinage d'un 

 point analytique [a, b) à distance finie, où u reste fini, le numéra- 

 teur et le dénominateur peuvent se développer en séries ordonnées 

 suivant les puissances de z — a, si parce point ne passe qu'un seul 



feuillet, et de (:; — «j^si ce point est le sommet d'un cycle de a 

 feuillets. Le quotient ne pourra donc contenir qu'un uovahva fini 

 de termes à exposants négatifs, si le dénominateur est en z — a 

 d'un degré infinitésimal supérieur à celui du numérateur. La fonc- 

 tion ç est donc régulière au point (r/, ^), à moins que ce point ne soit 

 un pôle. Le raisonnement est le même pour les points de T où u 

 devient infini et pour les points à l'infini de la surface. Par con- 

 séquent, toute fonction rationnelle de u et de z n'admet sur toute 

 la surface de Riemann que des pôles. 



Réciproquement, toute fonction uniforme du point analy- 

 tique (;, «), qui y sur toute la surface de Bieman/t, n'admet 

 d'autres points singuliers que des pâles, est une fonction ra- 

 tionnelle de z et de u. 



iNous nous servirons, pour le démontrer, de la remarque géné- 

 rale suivante : 



Toute fonction uniforme du point analytique [z, u) peut 

 être mise sous la forme 



Po(^), P| (c), . . ., P„,_, [z) étant des fonctions uniformes de z. 

 A. El G. i4 



