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CHAPITRE IV. 



Par hypothèse, l'équation irréductible F(3, u) = o est de dé- 

 gré m en u. Soient Ut, 112, . • ., Ujfi les m valeurs de 11 correspon- 



dant à une même valeur de z, et ^, 



les m valeurs de 



correspondant respectivement aux points analytiques (:3, «,), 

 (z, U2), . . ., (^, Uni)' Posons 



^2 = Po— ^2 Pi H- ... -h ll'i^~^ P/n-U 



t^.,.= Pr 



on peut résoudre ces m équations par rapport à Pq, Pi, . 

 car le déterminant 



D 



Ho 



«^est pas identiquement nul. On en tirera, par exemple, 



ou 



p 



D/- 



Faisons décrire à la variable z un contour fermé quelconque^ 

 les lignes du déterminant D se permutent d'une certaine façon. 

 Mais, par hypothèse, les vt se permutent de la même manière que 

 les Ui, de sorte que les lignes du déterminant D/ s'échangent entre 

 elles exactement de la même manière que celles de D. Les deux 

 déterminants sont donc multipliés par un même facteur, égal 

 à dz I, et, par suite, P^ est une fonction uniforme de z. 



Supposons maintenant que la fonction v du point analytique 

 (3, u) n'admette que des pôles sur toute la surface T. Les déve- 

 loppements des Ui et des r/ dans le domaine d'un point quelconque 

 de la surface ne contiendront jamais qu'un nombre fini de termes 



