FONCTIONS ALGEBRIQUES D UNE VARIABLE. 2IÏ 



à exposants négatifs. Il en sera évidemment de même de D et 

 de D/, et, par suite, de P/. La fonction uniforme P/(^), n'admet- 

 tant d'autres points singuliers que des pôles, est une fonction ra- 

 tionnelle; d'où résulte la proposition énoncée plus haut. 



Toute fonction uniforme du point analytique (^, u), qui est 

 régulière en tous les points de la suif ace T, est une constante. 



En efîet, soient r,, r^, . . ., ^'m les ni valeurs de v correspon- 

 dant à une même valeur de z. Les fonctions symétriques 



sont des fonctions uniformes de z qui restent finies pour toute 

 valeur, finie ou infinie, de cette variable. Ce sont donc des con- 

 stantes et, par suite, v est racine d'une équation à coefficients 

 constants. 



98. Le nombre des zéros d' une fonction rationnelle v =i':i{z, u) 

 sur toute la surface T est égal au nombre des pôles, chacun 

 d'eux étant compté a^;ec son degré de multiplicité. 



La dérivée logarithmique 



d^ d'o du 

 I dv dz du dz 



est aussi une fonction rationnelle de :; et de u^ et les résidus de 

 cette fonction proviennent des pôles et des zéros de r. Un zéro 

 d'ordre /??/ de v donne 4- nii pour résidu, et un infini d'ordre n^ 

 donne — /?a pour résidu. On a donc, d'après un des théorèmes 

 précédents, Im/ — I/?^ = o ou -mi = ^n^. 



Cette proposition donne lieu à quelques remarques. 



L La fonction '^,(:^, «)=-— peut admettre d'autres pôles 



que ceux qui proviennent des zéros ou des infinis de c. F^ar 

 exemple, supposons que, dans le domaine d'un point de ramifica- 

 tion d'ordre a — i , on ait 



V 



on en déduit 



