a 12 CHAPITRE IV. 



Le point z^=^ a est un pôle d'ordre [jl — v pour -^, et, par 

 suite, le résidu correspondant est nul. 



II. On aurait pu aussi démontrer le théorème précédent en 

 remarquant que la diflférence entre le nombre des zéros et celui 

 des pôles de la fonction (^ est égale à la même différence pour la 

 fonction rationnelle V\ ^o . . . Vm de z. 



m. Soient V r= ^(^, w) une fonction rationnelle de z et de u, 

 et N le nombre des infinis de cette fonction sur toute la surface. 

 On dira que cette fonction est d'ordre N. La fonction C5(^, u) — A- 

 a les mêmes pôles que cp(;3, w), quelle que soit la constante /.-. 

 Elle a donc aussi IN zéros, et la fonction (^ = cp(5, it) passe N fois 

 et N fois seulement par toute valeur donnée à l'avance. 



Les propriétés précédentes rapprochent, on le voit, les fonc- 

 tions rationnelles de z et de u des fonctions rationnelles d^une 

 variable. Si l'on connaît, soit les pôles de la fonction rationnelle 

 r = cp(:j, u), avec les parties principales correspondanles, soit les 

 pôles et les zéros (qui devront être en nombre égal, en tenant 

 compte de leur ordre de multiplicité), cette fonction ç sera déter- 

 minée, à une constante additive près dans le premier cas, à un 

 facteur constant près dans le second. En effet, s'il existe deux 

 fonctions rationnelles de z et u satisfaisant à ces conditions, leur 

 différence dans le premier cas, et leur quotient dans le second cas, 

 est une fonction rationnelle de z et de u, restant finie en tous les 

 points de T, c'est-à-dire une constante; mais il n'en résulte pas 

 qu'on puisse choisir arbitrairement les pôles avec les parties princi- 

 pales, ou les pôles et les zéros. Nous savons même (voir Ghap. I) 

 qu'il n'en est pas généralement ainsi. L'étude des relations entre 

 les résidus ou entre les pôles et les zéros sera faite plus loin. 



IV. On emploie quelquefois l'expression ordre d'une fonction 

 en un point (a, [3). Cet ordre est zéro, si le point (a, p) n'est ni 

 un pôle ni un zéro; il est égal à -4- ii, si ce point est un zéro 

 d'ordre n, à — n' si ce point est un pôle d'ordre n' . Le théorème 

 sur l'égalité du nombre des zéros et du nombre des infinis peut 

 alors s'énoncer ainsi : La somme des ordres d' une fonction rat ioii- 

 iielle de z et de u sur toute la surface de Riemann est nulle ( ' ). 



(') tÎRiOT et Bouquet, Fonctions elliptiques, p. îi;, 



