FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. 2l3 



Lorsqu'il y a quelque ambiguïté à craindre, on peut dire que 

 Vordre total d'une fonction est égal à N, si elle admet en tout 

 ]N pôles, chacun d'eux étant compté avec son degré de multipli- 

 cité. 



99. La définition des zéros et des infinis est purement analy- 

 tique; on peut également la justifier par des considérations algé- 

 briques et géométriques. Étant données les équations de deux, 

 courbes algébriques indécomposables 



(i8) ^{z,u)^o, 



d'après la théorie générale de l'élimination, les abscisses des 

 points communs aux deux courbes s'obtiennent en éliminant u 

 entre ces deux équations. Le résultat de l'élimination est 



iti, it-2j ' •', ihn désignant les m racines de l'équation (17). Soit 

 (a, j3) un point commun aux deux courbes; lorsque z tend vers a, 

 /•des racines de l'équation (17), U\, Ui, • • • ■> i^r, par exemple, ten- 

 dent vers p. Le nombre des points d'intersection des deux courbes 

 qui sont confondus au point (a, [3) est, par définition même, le 

 degré du produit ^{z, «, ) . . . O (z, u,-) en (z — a). Il faut remar- 

 quer que A(;) peut contenir (z — a) à une puissance supérieure 

 à celle-là, si les deux courbes ont d'autres points communs d'ab- 

 scisse égale à a. 



Cela posé, supposons d'abord que les /• valeurs de u égales à 

 ^ pour z = x forment un seul système circulaire; ces /• racines 

 sont alors représentées par un même développement 



l * 



u = p-i- Ai(-3 — a)'- -h A^_{z — a)'- ~- 



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 où l'on attribue au radical [z — a)'' ses /• déterminations. Quand 

 on remplace u par ce développement dans ^{z^ u), le résultat est 

 nul par hypothèse pour ; = a, et l'on a un nouveau développe- 

 ment 



