2IÎ CHAPITRE IV. 



Chacune des expressions <ï>(^,?^i), ..., <I>(5, «,) est donc du 



degré ^ en (z — a) et, par suite, leur produit est du degré q. Or 



q est précisément l'ordre du zéro de la fonction ^{z^ u) au point 

 (a, |3). Donc le nombre des points dHntersection des deux 

 courbes (i^) e^(i8) confondus au point (a, ^) est égal à V ordre 

 du zéro de la fonction ^(z^u) au point analytique (a, [^), 

 u et z étant supposés vérifier la relation F (::;, ?^) = o. 



Si les r valeurs de u qui deviennent égales à ^ pour ^ = a se 

 partagent en k systèmes circulaires, il j a, sur la surface de Rie- 

 mann correspondante à l'équation F(^, u^ = o, k points analyti- 

 ques (a, [3). Le même raisonnement montre que le nombre des 

 points communs aux deux courbes confondus en (a, P) est égal 

 à la somme des ordres des zéros de ^[z^u) en ces différents 

 points analytiques (a, [^) (^). 



Si le point commun aux deux courbes considérées est à l'infini, 

 on ne peut plus appliquer la même règle. Par exemple, les deux 

 courbes 



¥{z,u) =^ uz — I = o, 

 <ï>(z, u) = uz"^ — I = o, 



ont une asymptote commune ^ = o, et dans le domaine du point 

 ^ = o, on a 



ce point n'est donc pas un zéro pour <ï>(^, u). L'emploi des coor- 

 données homogènes permet, comme on sait, d'éviter ces diffi- 

 cultés; on peut dire encore, ce qui revient au même, qu'une 

 transformation homographique ramène le point commun à dis- 

 tance finie et supprime la difficulté. 



La remarque suivante s'applique à tous les cas. Soit F (:;,?/) = o 

 l'équation d'une courbe algébrique indécomposable et f{z, u)^ 

 '^j{z^ u) deux polynômes quelconques du même degré /i; dési- 



(^) Nous renverrons le lecteur au Mémoire de M. Halphen: Sur les points 

 singuliers, etc. {Journal des Savants étrangers, t. XXVI), où l'on trouvera une 

 dclinition géométrique du même nombre. 



