FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 2l5 



gnons par ç(:?, ii) la fonction rationnelle 



'1(Z. u) 



o{z, u) 



/(^, «) 



Cela posé, soient (a, ^3) un point quelconque de la courbe F = o, 

 q le nombre des points communs aux deux courbes F = o, /= o 

 confondus au point (a, j^), q' le nombre des points communs aux 

 deux courbes F = o, -i/ = o confondus au point (a, ^). La diffé- 

 rence q' — q est égale à la somme des ordres de o (;, u) aux diffé- 

 rents points analytiques (a, p). 



La proposition est une conséquence immédiate de ce qui pré- 

 cède si le point (a, ^) est à distance finie. Si ce point est à l'infini, 

 on le ramènera à distance finie par une transformation homogra- 



phique 



az -\- bu -\- c a z --- b' u -+- c' 



s = "TT-, nr—, T. 5 u = -Y-, T^—- if ^ 



a z -\-b u -^ c a z -r- o u -\- c 



cp(^, u) devient 



, ^^{z\u') 



où 'li (^', u') = o et fi {z\ u') = o sont les équations des deux 

 courbes de même degré qui se déduisent des courbes 6(z, u) = o, 

 y(^, u) = o, par la transformation homographique précédente. 

 Or l'ordre d'une fonction rationnelle en un point ne change pas, 

 comme on le verra au Chapitre Y [, par une transformation homo- 

 graphique. La proposition est donc générale. 



100. Le théorème classique de Bezout, sur le nombre des 

 points communs à deux courbes algébriques, peut être considéré 

 comme un simple corollaire de l'égalité du nombre des zéros et 

 du nombre des infinis. Étant données deux courbes algébriques, 

 de degrés m et n respectivement, choisissons une droite D ren- 

 contrant le système formé par les deux courbes en m -]- n points 

 distincts, et faisons subir aux deux courbes une transformation 

 homographique, de façon que la droite D devienne la droite de l'in- 

 fini. Les /?^ 4- n directions asymptoliques du système formé par 

 les deux courbes sont alors distinctes; nous supposerons de plus 

 qu'aucune de ces asymptotes n'est parallèle à l'un des axes de 



