^l(> CHAPITRE IV. 



coordonnées. Les équations de deux courbes s'écrivent alors 



( 19) F(^, ^0 = ^'-/.. (' , '{) - ^"^-'f,n-^ ( .. ") +. . .= o, 



//, cp/f sont des polynômes entiers en - d'un degré au plus égal à 



leur indice. En outre, les éqnalions/„i(i , c) = o, cp,, ( i , c) = o ont 

 toutes leurs racines simples et n'ont aucune racine commune. La 

 surface de Riemann, qui correspond à l'équation F(^, u) =r. o, se 

 compose de 7n feuillets et n'a aucun point de ramification à l'in- 

 fini; les m valeurs de u pour ^==roo sont représentées par m déve- 

 loppements de la forme 



u = CiZ + a'o'"' + -;- -+- (i =1, 2, . . ., m). 



Chacun de ces points à l'infini est un pôle d'ordre n pour 

 ^(Zyu), car le développement de ^(z^ii) commencera par un 

 terme de degré n, z" cp/;(i, a), qui, d'après les hypothèses, ne peut 

 être nul. La fonction $(^, u) a donc mn zéros à distance finie, 

 chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité; les 

 courbes ont par conséquent mn points communs à distance finie. 

 Il est clair d'ailleurs qu'elles n'ont aucun point commun rejeté à 

 l'infini. 



101. Toute surface de Riemann ayant des points de ramifica- 

 lion d'ordre quelconque peut être considérée comme limite d'une 

 surface de Riemann n'ayant que des points de ramification simples. 

 Soit ^(z^ u) le poljnome le plus général de degré m en ^ et u. 

 Nous pouvons supposer que la courbe qui a pour équation 

 ri(z, u) = O n'a aucun point multiple, et que les m asymptotes 

 sont distinctes, de telle sorte que les m valeurs de u pour z = 00 

 -sont fournies par m développements de la forme 



Uf =: CiZ + a'/'' -^- ilL ^- . . . ii=i,2, ..., m); 



le point ^ = GO est un pôle du premier ordre pour chaque valeur 



