FONCTIONS ALGÉBRIQUES DLNK VARIABLE. >. 1 7 



de II. Les points de ramification sont tous à distance finie et pro- 

 viennent des points de la courbe oii la tangente est parallèle à 

 l'axe des u. Si l'on a pris les axes, ce qu'on peut toujours sup- 

 poser, de façon qu'aucun de ces points ne soit un point d'inflexion, 

 ces points sont au nombre de jn{m — i) et chacun d'eux est un 

 point de ramification simple. La surface de Riemann T,, cor- 

 respondant à la relation ef(^, «) = o, a donc m feuillets et 

 m{m — i) points de ramification simples 



«i, «2, .... «>• [N — /??(/?? — [)]. 



Imaginons maintenant que les coelficients du polvnome 5{z^ u) 

 varient d'une manière continue depuis leurs valeurs primitives et 

 admettons, pour fixer les idées, que le coefficient de u'"^ ne devient 

 pas nul. Quelques-uns des points de ramification peuvent venir 

 se confondie, mais la surface de Riemann correspondante se 

 compose toujours de m feuillets. Pour voir nettement ce qui se 

 passe, il est plus commode d'employer les lacets. A partir de 

 chacun des points critiques <7), a.^^ ..., «>• tirons, dans le plan 

 de la variable z, une coupure s'étendant jusqu'à l'infini, de façon 

 que ces coupures ne se croisent pas entre elles {fig. 70). Soient z^ 



l'origine des lacets et u^, 11-2^ ..-, ihn les m racines, qui sont 

 uniformes tant que z ne franchit aucune des coupures. 



Supposons que les deux lacets («,) et (rto) unissent les deux 

 racines ?/, et u-2 et soient neutres pour les autres racines. Un 

 chemin tel que ZqJUJizq est équivalent à la suite des deux lacets 

 («i), {0.2) et ramène chaque racine à sa valeur initiale. Si l'on 

 imagine maintenant que, les coefficients de <?(:?, u) variant d'une 



