2l8 CHAPITRE IV. 



manière continue, les deux points critiques a^ et a.i viennent se 

 confondre en un point ^,, le chemin z-Qjnnz^^ devient équivalent 

 au lacet (bi) et, par suite, ce lacet ramène les deux racines z/,, u-, 

 à leurs valeurs initiales. On voit donc que deux points de ramifi- 

 cation simples sont venus se réduire à un point ordinaire. 



On peut s'en rendre compte d'une façon plus sensible. Sur la 

 surface de Riemann primitive, la ligne droite a^ cio peut servir de 

 ligne de passage entre deux feuillets; si les deux points «i, a^ 

 viennent se confondre avec le point ^,, cette ligne de passage 

 disparaît, et il n'y a plus de connexion entre les deux feuillets 

 au point bt . 



Nous pouvons faire d'autres hypothèses. Si les lacets (<2,) 

 et (a.^) unissent des racines différentes telles que u^ et ii.,} ih 

 et z</, , le point limite ^< sera la superposition de deux points de 

 ramification simples. Si le lacet («<) unit «< et Wo, le lacet (ao) 

 Ui et «3, le chemin Zç,jniiZQ conduit de ii^ à z^o, de U2 à W3, de 

 it-i à u^. A la limite, le lacet {b^) permutera circulairement les 

 trois racines w,, u-y^ Uz' Plus généralement, supposons que l'on 

 ait /• points critiques voisins a< , «2, ..., «/•, tels que le lacet 

 [ai) unisse les racines u^ et w/^i , et qu'un rayon vecteur tournant 

 autour de ^0 rencontre ces points dans l'ordre des indices. Un 

 chemin fermé entourant tous ces points critiques et ceux là 

 seulement permute circulairement les /' + i racines u^^ .... 

 Urj^^ ; si tous les points a^^ a^-, • • ., ctr viennent se confondre en 

 un point Z>,, on aura autour de ce point un système circulaire de 

 /• + I racines. 



La méthode précédente est évidemment générale et montre 

 suffisamment comment tout point de ramification d'ordre quel- 

 conque peut être envisagé comme provenant de la réunion de 

 plusieurs points de ramification simples, suivant la conception de 

 Riemann. 11 est clair, en effet, qu'on peut passer de la relation 

 ^[z^ u^ = o 3. toute autre relation du même degré par une varia- 

 tion continue des coefficients. 



Soient D le nombre des points de ramification simples qui 

 sont venus se confondre en un point z = b et R la somme des 

 ordres des points de ramification qui sont superposés au point 

 z--—b. La différence D — R est nulle ou égale à un nombre 

 pair positif. 



