FONCTIONS ALGÉBRIQUES DUNE VARIABLE. 219 



Pour démontrer cette propriété, nous supposerons que les D 

 points critiques a,, a^i . . . , «d viennent successivement coïncider 

 avec le point z ^ b. Après i opérations, par exemple, les points 

 <7,, a^, * . .., ai seront venus se confondre avec le point b et l'on 

 aura en ce point b un certain nombre de points de ramification 

 superposés, les points (//+», . . . , «0 restant des points de ramifi- 

 cation simples. Soit R/ la somme des ordres des points de ramifi- 

 cation superposés au point b après ces i opérations. Après la 

 première opération, on a 



Di = i, Ri=i, Di-R, = o, 



et, en général, 0/= /. 



Imaginons que le point (<7/+) ) vienne à son tour se confondre 

 avec le point b. Le lacet (<7/+, ) unit deux racines u/i, ifk- On peut 

 faire plusieurs hypothèses : 



1° Les deux racines u/i, Uk sont uniformes dans le domaine du 

 point b. Lorsque aiJ^^ sera venu en Z>, on aura en ce point un 

 point de ramification du premier ordre de plus; par conséquent 



D/+1 = ?■ 4- I , R,+i = R/ -M , 

 D,>,-R,+i = D,-R,. 



2° Une des racines, u^ par exemple, appartient à un système 

 circulaire de racines se permutant autour du point b. et Uk est 

 uniforme dans le domaine de ce point. Supposons que le lacet 



Fi°:. 71. 



(<^*f/+t) unisse les racines «, et ;/a et que le lacet {b) permute les 

 racines u^, ..., Up, la racine Uk restant uniforme au voisinage 

 de b. Un chemin tel que z-QmnzQ (Jig. 71) conduit de w, à Uk. de 

 Uk à Wo, • • ., de Up à ?/,. Lorsque a/_,_i sera venu en b, le lacet 



