29.2 CHAPITRE V. 



CHAPITRE V. 



CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. PERIODICITE 

 DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 



Connexion des surfaces en général. — Ordre de connexion d'une surface quel- 

 conque; d'une surface fermée; d'une surface de Riemann. — Généralisation de 

 la relation d'Euler pour les polyèdres. — Coupures sur une surface de Riemann. 

 — Exemples. — Equations binômes. — Surfaces de Riemann régulières. — In- 

 tégrales abéliennes. — Propriétés générales. — Périodes. — Classification (*). 



102. On a vu an Chapitre III comment une snrface de Rie- 

 mann à denx feuillets pouvait être transformée en une surface sim- 

 plement connexe, par un système convenable de coupures : il en 

 est de même des surfaces à un nombre quelconque de feuillets; 

 mais les considérations intuitives dont on s'est servi pour le cas 

 particulier déjà traité deviennent plus difficiles à saisir pour le cas 

 général. Aussi nous allons reprendre la théorie de la connexion 

 des surfaces à un point de vue tout à fait général. 



Rappelons qu'une surface est dite coAine.rê lorsqu'il est possible 

 de réunir deux points quelconques de cette surface par un trait 

 continu situé tout entier sur la surface. Si l'on a affaire à une sur- 

 face fermée, ou n'ajant pas debords, comme une sphère, un tore, 

 une surface de Riemann, on commence par lui donner une courbe 

 limite en pratiquant une petite fente dans cette surface ou en enle- 

 vant un petit morceau de cette surface. Les coupures dont il s'agira 

 ici sont considérées comme de véritables traits de ciseaux, par- 

 tant d'un bord et s'arrêtant dès qu'on rencontre un nouveau bord ; 

 quand on trace plusieurs coupures successivement, les coupures ou 



(*) Auteurs à consulter : Riemann, Inauguraldissertation, Théorie der 

 Abel'schen Functionen ; — Neumann^ Vorlesungen Liber Riemann's Théorie, etc.; 

 — E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, Chap. XIII et XIV ; — Simart, Thèse de 

 doctorat; — Jordan, Recherches sur les polyèdres {Comptes rendus, t. LX- 

 LXII; — Journal de Crelle, t. LXVI-LXVIII) ; — Note sur la déformation des 

 surfaces {Journal de Mathématiques, i" série, t. XI). 



