CONNEX^IOX DES SURFACES DE RIEM\NN. 213 



portions de coupure déjà tracées doivent être regardées comme 

 de nouveaux bords, de sorte qu'une coupure ne peut pas se traver- 

 ser, mais peut s'arrêter en un point de son trajet. 



Nous prendrons pour définition de la surface simplement con- 

 nexe la propriété suivante : une surface connexe est dite simple- 

 ment connexe lorsqu'il est impossible de tracer une coupure sur 

 cette surface sans la morceler, c'est-à-dire sans la décomposer en 

 deux morceaux n'avant plus de connexion entre eux. Dans le cas 

 contraire, elle est plusieurs fois connexe, ou à connexion mul- 

 tiple. 



La sphère, le plan indéfini, la surface d'un cercle ou d'un rec- 

 tangle sont simplement connexes. Au contraire, une surface plane 

 à plusieurs contours, le tore, une surface de Riemann à deux feuil- 

 lets et plus de deux points de ramification, etc., sont à connexion 

 multiple. Par exemple, dans la surface ABCD {^/ig- 72) 



Fis:. 



on peut tracer les trois coupures a^, yo, cvj sans morceler la sur- 

 face; une nouvelle coupure la morcellerait. Prenons la surface du 

 tore (Jig- 73); une coupure telle que omnpo ^ tracée suivant un 



Fis. 7?. 



méridien, la transforme en une sorte decvlindre recourbé, et une 

 nouvelle coupure telle que o^io' transforme la surface en une sur- 

 face à connexion simple o^Fo'o, M, o, . Inversement, en réunissant 



