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CHAPITRE V 



les côtés opposés d'un rectangle, on obtient une surface leriné 



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analogue à la surface du tore 



103. La définition précise de l'ordre de connexiim d'une sur- 

 face repose sur les propositions suivantes : 



I. Une surface simplement connexe S est décomposée par 

 une coupure en deux morceaux simplement connexes ('). 



Supposons d'abord que la coupure ah joigne deux points de la 

 limite totale de S. Prenons snr les deux bords de la coupure deux 

 points infiniment voisins /??, m' \ il est clair que tout point de S 

 peut être réuni à l'un des deux points m ou m' par un trait con- 

 tinu situé sur S, sans franchir la coupure ah. On a donc décom- 

 posé la surface S en deux portions connexes séparément S', S'^ et, 



Fig. 7l. 



(1 ) 



(M-) 



par hypothèse, il n'j a pas de connexion entre S^ et S'^ 11 s'agit 

 (le faire voir que chacune de ces surfaces S' et S" est simplement 

 connexe. En effet, si S', par exemple, n'était pas simplement con- 

 nexe, on pourrait, sans la morceler, tracer dans S' une coupure. 

 Soit cd cette coupure, telle que l'indique la première figure à 

 gauche. 



Cette coupure cd ne morcelant pas S', tout point de S' peut 

 être joint par un trait continu au point m sans franchir la coupure 

 cd. Si maintenant on supprime la coupure primitive rt^, tout point 

 de S'^ pourra également être joint au point /;« sans franchirez/. On 

 pourrait donc^ contrairement à l'hypothèse, tracer sur S une cou- 

 [)ure c<ine morcelant pas la surface. On raisonnerait d'une façon 

 analogue dans tous les cas, suivant la disposition de la coupure 6*<^, 



( ' ) i^iEriANN, Gesammelle Werke, p. 9. 



