CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 225 



et l'on arriverait toujours à obtenir une coupure ne morcelant pas 

 S; telle serait c\db pour la 2^ figure, ackdb pour la 3^, bcdef 

 pour la 4^- 



Si la coupure «6, au lieu de réunir deux points de la limite to- 

 tale de S, se terminait en un point de son parcours, comme l'in- 

 dique la figure ci-dessous {Jig- 70), les deux points /??, m\ infi- 



I 



niment voisins sur les bords opposés de la coupure, seraient dis- 

 posés ainsi que le montre le dessin. Nous laisserons au lecteur le 

 soin d'achever le raisonnement, qui est identique à celui de tout 

 à l'heure. 



Corollaire. — Etant données [Ji surfaces simplement connexes, 

 si l'on trace, dans ce svstème de surfaces, v coupures successive- 

 ment, on obtient ;jl -|- v morceaux simplement connexes. Chaque 

 nouvelle coupure a pour eflfet de décomposer un morceau en deux. 



II. Soit }l un système quelconque de surfaces; si, au moyen 

 de V coupures successives, on décompose ce système en a mor- 

 ceaux simplement connexes, la différence v — a est un nombre 

 constant pour ce système de surfaces (*). 



Supposons qu'en procédant d'une façon différente on ait, au 

 moyen de v' coupures successives, obtenu a' morceaux simplement 

 connexes ; il s'agit de montrer que Ton a v — a = v' — a'. 



Soient q une coupure du premier sjstème, q' une coupure du 

 second système. 11 est toujours permis de supposer que les cou- 

 pures q et q' ne se rencontrent pas sur les courbes limites, et que 

 les points de croisement des coupures q n'appartiennent pas aux 

 coupures q' et inversement ; s'il n'en était pas ainsi, il suffirait de 

 déplacer infiniment peu quelques-unes des coupures, ce qui ne 

 change évidemment pas les nombres v, a, v', a'. Imaginons alors 



(') RiEMANN, loc. cit., p. 10. 



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