9.26 CHAPITRE V. 



que, dans le système de surfaces S, on ait tracé à la fois les coupures 

 q el q' \ et soit A le nombre de morceaux ainsi obtenus. On peut 

 compter ce nombre de deux façons différentes; d'abord, on peut 

 supposer qu'on ait tracé les coupures q les premières et qu'on 

 trace ensuite, dans les a morceaux simplement connexes ainsi ob- 

 tenus, les coupures q' . Chacune de ces coupures ^' devra compter 

 pour/) H- I coupures distinctes,/? désignant le nombre de fois que 

 €ette coupure q' traverse une coupure q. Si donc on appelle P le 

 nombre des points de rencontre des coupures q avec les coupures 

 q' ^ le nombre total des morceaux sera A = a -|- v' -+- P. En opé- 

 rant dans l'ordre inverse, on trouverait de même A = a' -f- v -[- P. 



On a donc 



a H- v' -h P = a' -h V 4- P, 



c'est-à-dire 



v' — a' 3= V — a. 



Ainsi, pour décomposer une surface en cent morceaux simple- 

 ment connexes, il faut toujours le même nombre de coupures, 

 de quelque façon qu'on opère. 



104. Gela posé, considérons en particulier une surface con- 

 nexe S, et supposons que cette surface puisse être décomposée en 

 portions simplement connexes au moyen d'un nombre fini de cou- 

 pures (^ ). Si V coupures successives donnent a morceaux simple- 

 ment connexes, la différence v — a est, d'après ce qu'on vient de 

 voir, un nombre parfaitement déterminé pour cette surface. Le 



nombre 



N = V — a -+- 2 



est appelé Vordre de connexion de cette surface. Pour une sur- 

 face simplement connexe, on peut prendre V = o, a=:i, et l'on a 

 N= I, comme il est naturel. (On voit pourquoi nous avons pris 

 V — a + 2, et non pas v — a, pour mesurer l'ordre de connexion.) 

 Un cylindre ouvert aux deux bouts est transformé en une sur- 

 face simplement connexe par une coupure tracée le long d'une 

 génératrice. On a ici v = a =: i ; ce cylindre est donc une surface 

 doublement connexe. Pour transformer le tore en une surface sim- 



(*) Nous excluons par là même les surfaces qui ne pourraient être décomposées 

 en portions simplement connexes par un nombre fini de coupures. 



