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CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 227 



plement connexe, il faut deux coupures ; le tore est donc une sur- 

 face triplement connexe. En général, une aire plane à ii contours 

 est une surface connexe d'ordre /?. 



Soit S une surface N/o«5 connexe (N > i) ; si l'on trace dans 

 S une coupure cj ne morcelant pas cette surface, on obtient une 

 surface S', qui est (N — ^) fois connexe. 



Soit N' l'ordre de connexion de S'; si v coupures successives 

 décomposent S' en a morceaux simplement connexes, on aura 



N' = V — a + 2, 



et, comme on a passé de S à S' en traçant une coupure, on aura 



aussi 



N = V 4- I — a 4- 2, 

 et, par suite, 



N' = N-i. 



On conclut de là que toute surface, S qui est N fois connexe, 

 peut être transformée en une surface simplement connexe au 

 moyen <f e N — i coupures. 



Puisque S est N fois connexe (N >> i ), on peut tracer une cou- 

 pure sans la morceler, et l'on a une surface S' qui est N — i fois 

 connexe ; si N est plus grand que 2 , on pourra tracer dans S' une nou- 

 velle coupure et l'on obtiendra une surface S'^ quisera(N — 2) fois 

 connexe, et ainsi de suite. Au bout de N — i opérations, on arrivera 

 à une surface dont l'ordre de connexion sera N — (N — i ) = 1 , 

 c'est-à-dire à une surface simplement connexe. 



Le même raisonnement prouve que, sur une surface N fois con- 

 nexe, on ne peut tracer plus de N — i coupures sans la morceler. 

 L'ordre de connexion d'une surface est donc égal au nombre maxi- 

 mum de coupures que l'on peut tracer sur cette surface sans la 

 morceler, augmenté d'une unité. 



lOo. Appliquons ceci aux surfaces fermées. Le type des sur- 

 faces fermées simplement connexes est la sphère; après la sphère, 

 la surface fermée la plus simple est le tore, qui est triplement 

 connexe. Mais il n'existe pas de surface fermée doublement con- 

 nexe, et, d'une manière générale : L'ordre de connexion d'une 

 surf ace fermée est un nombre impair. 



