228 CHAPITRE V. 



On s'appuie, pour démontrer ce théorème, sur les remarques 

 suivantes : 



1. La limite totale dUine surface simplement connexe se 

 compose dhine seule courbe (V). 



11 faut entendre par cet énoncé que celte limite totale peut 

 être décrite d'un seul trait continu. Supposons qu'on ait deux 

 courbes limites distinctes C, C, et soit ah une coupure allant 

 d'un point de G à un point de G'. Gette coupure ne morcelle 

 pas la surface; pour le prouver, il suffit évidemment de faire 

 voir qu'on peut réunir deux points infiniment voisins m, /?^', pris 

 sur les deux bords opposés de ah^ par un trait continu, sans 

 franchir cette coupure. En effet, soient n et n! deux points infini- 

 ment voisins de G' de part et d'autre du point h {Jig- 76). 



On peut aller de m en n et de n' en m' en longeant la coupure. 

 D'autre part, la courbe limite (}' n'ajant qu'un point commun h 

 avec la coupure, il est clair qu'on peut joindre les deux points n 

 et n' par un trait continu restant toujours infiniment voisin de G' 

 et ne traversant pas ab. Il existerait donc, contrairement à l'hy- 

 pothèse, une coupure ne morcelant pas la surface. 



II. Si dans un système de surfaces 2 on trace une coupure, 

 le nombre des courbes limites augmente ou diminue d'une 

 unité. 



Il suffît d'examiner tous les cas qui peuvent se présenter et 

 qu'on a figurés ci-dessous en donnant aux coupures aZ>, abcd des 



(*) Cette propriété est évidente, si l'on définit une surface simplement connexe, 

 comme au n° 51. Pour l'identité des deux définitions, on pourra consulter la Note 

 de M. Jordan Sur la déformation des surfaces {Journal de Mathématiques, 

 2® série, t. XI). 



