CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 229 



épaisseurs finies pour qu'on voie leurs deux bords {fig. 77). Si 

 la coupure réunit deux courbes limites différentes A et B 

 {^fig. 77, i), ces deux courbes limites sont remplacées par une 

 seule qu'on peut parcourir dans le sens marqué par les flèches. Au 

 contraire, si la coupure joint deux points d'une même courbe 

 limite (2) ou se termine en un point de son parcours (3), le 

 nombre des courbes limites est augmenté d'une unité. Dans tous 

 les cas, ce nombre change de parité. 



Fig. 77. 



Cela posé, soit S une surface fermée N fois connexe. La limite 

 totale se compose d'une seule courbe infiniment petite, et la 

 surface se transforme en une surface simplement connexe au 

 moven de N — i coupures. Comme, à chaque coupure, le nombre 

 des courbes limites change de parité, et que toute surface simple- 

 ment connexe a une seule courbe limite, on voit que N — i doit 

 être pair. Plus généralement, l'ordre de connexion d'une surface 

 et le nombre des courbes limites sont de même parité. 



106. Soit 



N = 2/> -r- I 



l'ordre de connexion d'une surface fermée 5 le nombre entier/? 

 est appelé le genre de la surface. La sphère est de genre zéro, 

 le tore de genre un. Le type des surfaces fermées de genre/) est la 

 sphère solide avec/? trous, ou le système de p anneaux soudés l'un 

 à l'autre, formant une chaîne non fermée. Pour transformer une 

 pareille surface en une surface simplement connexe, il faut un 

 système de ip coupures. Par exemple, on peut tracer ces ip cou- 

 pures de façon que/? d'entre elles tournent autour d'un trou, les/? 

 autres passant à travers un ou deux trous. Tout ceci est à rap- 

 procher du début du Chapitre III; les surfaces qui y sont étudiées 



