23o CHAPITRE V. 



ne sont au fond que des surfaces du genre/». Les considérations 

 qui y sont employées prouvent directement que la surface de 

 Riemann à deux feuillets et à 2/> + 2 points de ramification est 

 de genre p ; résultat que nous vérifierons tout à l'heure. 



107. Soit S une surface connexe; isolons un point sur cette 

 surface par une courbe infiniment petite G et supposons enlevé 

 le morceau intérieur; on obtient ainsi une nouvelle surface S', 

 dont V ordre de connexion est supérieur d'une unité à celui 



deS{fig.^%). 



Fig. 78. 

 A 



C 



Il est évident d'abord que la surface S' sera encore connexe. Joi- 

 gnons un point 6 de G à un point a d'une courbe bmite A de S par 

 une coupure ab^ ne morcelant pas S^ (n° 102), et soit S'' la nou- 

 velle surface ainsi obtenue. Les ordres de connexion des trois 

 surfaces S, S', S^' sont respectivement N, N', N". Imaginons que 

 V coupures successives q tracées dans S'^ la décomposent en a 

 morceaux simplement connexes; on aura d'abord 



Gomme on passe de S' à S'^ en traçant dans S' une seule cou- 

 pure ab^ on aura aussi 



N'= V + 1 — a-f- 2. 



D'un autre côté, si l'on trace dans S la coupure abcb, on la 

 décompose en deux, le morceau simplement connexe intérieur à 

 la courbe G et la surface S'^; si l'on trace ensuite dans S'^ les v 

 coupures g, on obtient a morceaux simplement connexes. On a 

 donc 



N = V -h [ — (aH- i) 4- 2 

 et, par suite, 



N'=N + i. 



