CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 23 1 



D'une manière générale, quand on enlève n morceaux simple- 

 ment connexes d'une surface connexe, l'ordre de connexion aug- 

 mente de Ti unités. 



Remarque. — Quand on applique ce théorème aux surfaces 

 fermées, on doit supposer qu'on a déjà donné une limite à la sur- 

 face. 



108. On déduit aisément de cette remarque une généralisation 

 de la relation, due à Euler, qui lie le nombre des faces, le nombre 

 des sommets et le nombre des arêtes d'un polyèdre. 



Soit T une surface fermée connexe, de genre/?; imaginons 

 qu'on ait décomposé cette surface en F portions simplement con- 

 nexes par un système de coupures. On aura sur cette surface une 

 espèce de réseau polygonal ayant F faces, S sommets, A arêtes. SI 

 l'on entoure chaque sommet du réseau d'une petite courbe et 

 qu'on enlèye le morceau intérieur, on aura une surface connexe 

 T' dont l'ordre de connexion sera, d'après ce qui précède, 



jN' = 2/? -h I -h S — I = ip -+■ S, 



car une des petites courbes doit être regardée comme formant la 



limite de T. Si l'on trace ensuite dans T' des coupures suivant 



les A arêtes, on trouve F morceaux simplement connexes. On a 



donc 



N' = 2/?-T-S = A — F-i-2 



ou bien 



A — F — S = 2/)— 2 (V). 



Si /? = o, on retrouve la formule d'Euler. Si/?= i, il reste 

 A = F-|-S; comme vérification, reprenons le tore et ses deux 

 coupures, on a 



A = 2. F = i, S = i. 



La formule précédente est souvent utile pour trouver le genre 

 d'une surface fermée. 



109. Nous allons appliquer cette théorie générale aux surfaces 



(*) Lhuilier, Annales de Gergonne, t. III. 



