232 CHAPITRE V. 



de Riemann. Le premier problème que l'on ait à résoudre est le 

 suivant : Etant donnée une surface de Riemann connexe T, 

 composée de m feuillets, dont on connaît les points de ramifi- 

 cation, trouver le genre de cette surface. 



Il suffit de procéder comme pour établir la formule d'Euler gé- 

 néralisée. Supposons la surface T composée de m feuillets éten- 

 dus sur la sphère et soient a^^ . . . , a^ les q points de la sphère où 

 se projettent les points de ramification. Au point at^ par exemple, 

 sont superposés ni points de ramification dont quelques-uns peu- 

 vent être d'ordre zéro. Prenons un point O de la sphère au-dessus 

 duquel passent m feuillets distincts; isolons chacun des m points 

 qui se projettent en O par une courbe infiniment petite, et enle- 

 vons les portions de la surface intérieures à ces courbes. Opérons 

 de même avec tous les points de la surface qui se projettent aux 



Fig. 79- 



points «1, «2, . . ., aq, et soit ï' la surface ainsi obtenue. Le 

 nombre des morceaux enlevés est m + n< H- . . . -f- /z^; comme une 

 des petites courbes doit servir de limite totale à T, l'ordre de 

 connexion de T' sera, en appelant ip -j- i celui de T, 



N'= 2/) -t- /?ZH- /Il -f- /l2-H. . .-i- Tlq. 



Pour fixer les idées, supposons les lignes de passage de T tra- 

 cées suivant des lignes allant du point O aux points a^, a^i • •-, 

 Œq. Si, sur chacun des feuillets de T', on trace les q coupures 

 allant de O aux points a,, ..., a^, on a, au moyen de ces mq 

 coupures, décomposé T' en m morceaux simplement connexes. 

 Par suite, on a 



N' = 2/> H- m -i- Ail 4- . . . 4- n^ = mq — /ti h- 2 



