CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. a33 



OU 



'Ji.p z= \ ( /?i — m) — 2 /?i -r- 2 ; 



1 



or m — Ri est égal à la somme des ordres des points de ramifica- 

 tion qui sont superposés au point «/, S(/?i — iii) représente donc 

 la somme !(/• — i) des ordres de tous les points de ramification 

 de la surface; il vient donc, en définitive, 



SCr — i) 

 p = m -h I , 



2 



Telle est la formule fondamentale due à Riemann ('). On voit 

 que la somme -(/• — i) est toujours un nombre pair (n® 101). 



Exemple. — Pour une surface à deux feuillets, ayant ip-{- i 

 points de ramification, la formule précédente montre que le 

 genre sera égal à/?; ce qui est bien d'accord avec le Chapitre III. 



110. Le second problème à résoudre est celui-ci : Etant 

 donnée une surface de Riemann, de genre /?, transformer 

 cette surface en une surface simplement connexe au moyen de 

 ip coupures. 



On peut employer pour cet objet plusieurs systèmes de cou- 

 pures. Nous adopterons un système dont s'est servi Riemann (2). 

 Remarquons d'abord les propriétés suivantes : 



1° Toute surface dont la bmite totale peut être décrite d'un 

 seul trait continu est connexe. En effet, si l'on prend d'abord 

 deux points quelconques infiniment voisins de la limite, on peut 

 passer de l'un à l'autre par un trait continu infiniment voisin de 

 cette limite. Si l'on a ensuite deux points quelconques de la sur- 

 face, il est clair qu'on peut réunir chacun d'eux à un point infi- 

 niment rapproché de la courbe limite. 



2° Étant donnée une surface à connexion multiple limitée par 

 une seule courbe, on peut tracer dans cette surface une coupure 

 terminée en un point de son parcours et ne morcelant pas la sur- 



(') Gesammelte Werke, p. 106. 



(') RiEMANX, Abelschen Functionen, § 7. 



