'^34 CHAPITRE V. 



face. Par hypothèse, on peut tracer une coupure ne morcelant pas 

 la surface. Cette coupure part d'un point a de la limite; suppo- 

 sons qu'elle se termine en un autre pointa de la limite. Marquons 

 sur cette coupure deux points et! ^ h\ infiniment voisins des points 

 a et h^ et réunissons-les par un trait continu o! b' infiniment 

 voisin de ah {fig. 80); si l'on supprime la coupure ^6' et qu'on 



trace une coupure a' b' , on a la coupure aa! cV oJ qui est terminée 

 à un point de son parcours et qui ne morcelle pas la surface. 



Gela posé, considérons une surface de Riemann ip + i fois 

 connexe (/> > o) To^^, 5 soit A une courbe infiniment petite servant 

 de limite à cette surface. Soit, de plus, a^ une coupure ne morce- 

 lant pas cette surface ; on peut supposer que les deux extrémités de 

 cette coupure sont sur la courbe limite A. En effet, si cette cou- 

 pure se terminait en un point b de son parcours, on pourrait 

 prendre pour courbe limite de To^.^, une petite courbe entourant 



Fig. 81. 



le point 6, et supprimer la portion de coupure comprise entre A 

 et b^ ainsi que la courbe limite A. La nouvelle surface To/,, ainsi 

 obtenue, est ip fois connexe; on peut donc réunir deux points 

 infiniment voisins, pris de part et d'autre de «,, par un trait con- 

 tinu. Traçons une coupure b^ le long- de ce trait continu; la sur- 

 face obtenue To;,., est encore connexe, car sa limite, comme le 

 montre ^'à fig. 81, peut être parcourue d'un seul trait continu. 



