CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 2i35 



Si/?>>i, T.2p_i sera encore plusieurs fois connexe, et l'on 

 pourra tracer une nouvelle coupure, partant d'un point de ^, et 

 terminée en un point de son parcours, ne morcelant pas la sur- 

 face. Soient c, «2 cette coupure, et To^_o la nouvelle surface, qui 

 est encore à connexion multiple, ainsi obtenue. On pourra ensuite 

 joindre deux points infiniment voisins, de part et d'autre de a^-, 

 par une nouvelle coupure 60, et la nouvelle surface Tojs-s sera 

 connexe, car sa limite totale pourra être parcourue d'un seul trait 

 (/-•Sa). 



Fig. 82. 



Si y? ^ 2, To^_3 sera simplement connexe. Si /? >> 2, on con- 

 tinuera de la même façon. Au bout de p opérations, on aura 

 transformé T en une surface simplement connexe T' au moyen 

 de/? systèmes de deux coupures (^v, ^v), ('-' = 17 2, . . . , p), réunies 

 par des coupures Cv(v = 1,2,...,/? — i). Remarquons que les 

 coupures Cv et «v+i (sur la figure c, et rto) ne forment en réa- 

 lité qu'une seule coupure se terminant en un point de son par- 

 cours. 



D'après la façon dont on a opéré, on voit que les coupures sont 

 absolument disposées comme celles qui nous ont servi dans le cas 

 d'une surface à deux feuillets. La seule différence entre les deux 

 cas, c'est que les coupures Cv employées ici joignent une cou- 

 pure by à une coupure a^^t. Mais ceci importe peu; on a déjà 

 fait remarquer, en effet, que l'on peut, par une déformation con- 

 tinue, déplacer l'extrémité de la coupure Cv de façon à Tamener en 

 un point de ^v+i . On verra d'ailleurs que ces coupures Cy ne jouent 

 qu'un rôle tout à fait auxiliaire. Relativement aux bords positifs 

 et négatifs des coupures a^ et 6v, on peut choisir arbitrairement le 

 bord positif d'une coupure «v? et le bord positif de b^esl alors dé- 



