CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. l3g 



finie ou infinie de z, R(^) a une valeur finie différente de zéro, 

 les 771 valeurs du radical ^R(^) restent des fonctions uniformes 

 de z dans le domaine de ce point. Il en est de même si, dans le 

 domaine d'un point z = a à distance finie, on a 



ou si Ton a, pour ^ = ce, 



q étant un nombre entier positif ou négatif, et R, [z) une fonction 

 rationnelle qui prend une valeur finie et différente de zéro pour 

 z = a, ou pour z =^ ce. 



On obtiendra donc les points de ramification de la surface de 

 Riemann, correspondant à la relation binôme (i), en cherchant 

 les pôles ou les zéros de la fonction rationnelle R(^) dont Tordre 

 de multiplicité n'est pas un multiple de 77i. Soit a un de ces points, 

 un zéro par exemple, et 7i son degré de multiplicité. Dans le do- 

 maine du point ^ = (7, les 77i valeurs de u sont représentées par 



V(i;-a)'*Pi(z), 



P, (^) désignant une fonction uniforme dans le domaine du point 

 z = a et le radical ^{z — «/' devant être pris avec ses m déter- 

 minations. Lorsque l'argument de ^ — a augmente de 27r, l'argu- 

 ment de II augmente de — -- Supposons — réduit à sa plus simple 

 expression -; après /' tours de la variable z autour du point «, 



l'argument de u a augmenté de 2t.s et, par conséquent, u revient 



à sa valeur initiale. On a donc, en supposant m = /-a, a cycles 



de /• feuillets ayant leurs sommets au point z ^ a. 



Soient rt,, ao, . . . , a^ les différents points de ramification, et 



/, , /'o, . . . , 7'q les nombres entiers qui jouent le même rôle que le 



nombre /■; le point ai est le sommet de a/ cycles de r/ feuillets. 



Posons 



m = a, /'i = a2 /'2 = . . . = ocg r'q ; 



tous les nombres /'i, /*o, . . ., 7'q font partie des diviseurs de m su- 



