244 CHAPITRE V. 



brique, question générale que nous n'aborderons pas ici(^). Nous 

 allons montrer simplement comment on peut obtenir les équations 

 binômes qui correspondent à une solution de l'équation (2) en 

 nombres entiers et positifs. Soit 



(4) ii'« = Ti{z — ai)"^i 



une équation binôme irréductible; le nombre mi peut toujours se 

 mettre sous la forme m/ = mti^ nt^ tt désignant un nombre en- 

 tier positif ou négatif, et ni un nombre entier satisfaisant aux 

 inégalités o^ni<^m. L'équation binôme proposée peut alors 

 s'écrire 



(5) urn ^['R^{z)Y^{z — a^)n.{z —a^Y^. . .^z ~ asYs^ 



Ri(^) désignant une fonction rationnelle de ^ et /z<, ..., ils des 

 nombres entiers positifs inférieurs à ni. Les nombres m, n^^ .... 

 jis sont en outre premiers entre eux, sans quoi la relation ne se- 

 rait pas irréductible. Il est clair que la fonction u définie par l'é- 

 quation (5) est ramifiée comme la fonction U définie par l'équation 



(6) U'« = (> — ai)«i(s — a2)«2...(^ —as)"^. 



Supposons connues les valeurs de q^ /'<, r^, . . ., r^. Le nombre 

 .V est égal k q — i ou à ^, suivant que le pointa l'infini est ou non 

 un point de ramification. Quant au nombre /?z, il est toujours égal 

 au plus petit multiple commun M des nombres /'i , /'o, . . ., rq. En 



effet, le rapport — réduit à sa plus simple expression doit être de 



la forme —S ce qui exige que m soit divisible par ri. On a donc 

 m = MQ, et, par suite, 



ni r'i , M 



tous les nombres ni sont donc divisibles par Q, et, par consé- 

 quent, on a Q = I : autrement la relation ( 5 ) ne serait pas irréduc- 

 tible. 



Cette remarque permet d'éliminer un certain nombre des solu- 

 tions trouvées pour l'équation (2), auxquelles ne correspondent 



(') Riemann a démontré qu'à toute surface connexe à plusieurs feuillets cor- 

 respond une fonction algébrique. (Picard, Traité d'Analyse, t. II.) 



