^46 CHAPITRE V. 



unes d'entre elles par des transformations simples. Ainsi, en 

 effectuant sur z une substitution linéaire, on peut ramener les 

 trois dernières équations à la relation (XTX), les équations 

 (XVI), (XVII) et (XVIII) à la relation (XV), (XIII) et (XIV) 

 à (XK), (X) et (XI) à (IX), (VIII) à (VII), (VI) à (V), (IV) 

 à (III), (II) à (I). On peut déduire de même (VII) de (V), 

 (XII) de (IX), (XIX) de (XV) en changeant ..en^. Enfin, si 

 Ton remplace u par uK^{z)^ on voit que toutes les équations bi- 

 nômes de genre un se ramènent à quatre équations distinctes 



Iir.. . . m2 ={z-~a^){z — a^){z — a^){z — a,)) 



VU'.... u^ = {z-a,Y{z-a,Y{z~a,Y- 



Xir.. . . u'^ ^{^z — a^ Y{z — a.y{z — «3)3 ; 



XIX'... u^ = {z — a^y{z — a^f{z — aiY, 



dont elles peuvent se déduire par une substitution linéaire effec- 

 tuée sur z^ accompagnée de l'une des transformations 



U 



Toutes les équations binômes de genre zéro se ramènent de 

 même à la relation unique 



113. Nous avons vu qu'il existe en outre quatre surfaces de 

 Riemann régulières de genre zéro, composées respectivement de 

 12, 24, 60, in feuillets. Les équations algébriques correspon- 

 dantes jouent un rôle important dans un grand nombre de re- 

 cherches ( ^ ); nous allons les indiquer ici. Nous nous appuierons 

 pour cela sur les identités suivantes qu'il est facile de vérifier 



(^)^— (^)^ 



{u'* — 2 v/=^ m2 + i)"^ _ (wi _|_ 2 v^IITs t^2 _|_ 1)3 ^ _ 12 s/'^[u{u'* — l)]2, 



(a8 -h 14 u'* 4- i)3 _ fo8 [i^(i^4_ ,)]4 = (ïil2_ 33 ^^8 _ 33 u'* -f- l)2, 

 == — [w30+T-4- 52'2(w2S_ u^)— IOOo5(w20+ wl0)]2. 



(' ) Voir, par exemple, l'Ouvrage de M. Klein, Vorlesungen iiber das Jkosaedei 



