CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 1^'J 



Cela posé, les équations algébriques 



OÙ 1 on considère :? comme la variable indépendante et u comme 

 la fonction, admettent pour surfaces de Riemann des surfaces ré- 

 gulières de genre zéro. Démonlrons-le, par exemple, pour la 

 seconde. La surface de Riemann se compose de t2 feuillets ; pour 

 :: = o, les douze racines sont égales 3 à 3 et les racines égales for- 

 ment un seul système circulaire. Le point z = o est donc le som- 

 met de quatre cycles de trois feuillets, et l'on voit immédiatement 

 qu'il en est de même du point z = ce. D'autre part^ la seconde 

 des identités écrites plus haut montre que les douze racines de- 

 viennent égales deux à deux pour ^ = i , une racine double étant 

 infinie. On a donc , au point ^ = i , six points de ramification 

 simples. Pour faire voir que la surface n'a pas d'autres points de 

 ramification, il suffit de montrer que'pour toute autre valeur finie 

 de z les douze racines de l'équation en u sont distinctes. 



C'est ce qu'on peut voir facilement. Si, en effet, pour z = a 

 l'équation en u admettait une racine multiple u = b, on aurait 



^ — ^ — 7 — : Zi ) 



et le numérateur de -r^ contiendrait en facteur (u — bY'*. Or 



du ^ ' 



un calcul facile donne 



clz _ 8 \-— 3 ?/(a' —I ) (?/>— 2 y/^^ zr2 ^ i)^ 



et le numérateur n'admet pas d'autres racines que celles qui pro- 

 viennent des valeurs o et i de :j. 



